Mengenal Logika Informatika

Konvers,Invers dan Kontraposisi

 A.  Pengertian dan Contohnya

Perhatikan pernyataan ini:

Jika suatu bendera adalah bendera RI maka ada warna merah pada bendera itu.

Bentuk umum suatu implikasi adalah: p ⇒ q

Pada contoh di atas:

p : Bendera RI

q : Bendera yang ada warna merahnya

Dari implikasi p ⇒ q di atas, dapat dibentuk tiga implikasi lain dengan menggunakan p dan q sebagai dasar:

Konversnya, yaitu q ⇒ p

Inversnya, yaitu ~p ⇒ ~q

Kontraposisinya, yaitu ~q ⇒ ~p

Dengan demikian; konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi  “Jika suatu bendera adalah bendera RI maka ada warna merah pada bendera tersebut.” berturut-turut adalah:

1. Jika suatu bendera ada warna merahnya maka bendera tersebut adalah bendera RI (q ⇒ p) atau konvers dari implikasi p ⇒ q.
2. Jika suatu bendera bukan bendera RI maka pada bendera tersebut tidak ada warna merahnya (~p ⇒ ~q) atau invers dari implikasi p ⇒ q.
3. Jika suatu bendera tidak ada warna merahnya, maka bendera tersebut bukan bendera RI (~q ⇒ ~p) atau kontraposisi dari implikasi p ⇒ q.

Berdasar penjelasan di atas, jawablah pertanyaan berikut:

1. Tentukan nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan kontraposisinya.
2. Hal menarik apa saja yang Anda dapatkan dari kegiatan c di atas?

Berhentilah membaca naskah ini, cobalah untuk menjawab pertanyaan di atas. Jawaban

pertanyaan di atas adalah sebagai berikut:

1. Nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan kontraposisinya.
   1. Untuk menentukan nilai kebenaran dari implikasi “Jika suatu bendera adalah bendera RI maka ada warna merah pada bendera tersebut”; maka yang perlu diperhatikan adalah antesedennya, yaitu: “Suatu bendera adalah bendera RI.” Serta kosekuennya yaitu tentang ada tidaknya warna merah pada bendera tersebut.  Implikasi di atas bernilai sama dengan pernyataan berkuantor: “Semua/setiap bendera RI mesti ada warna merahnya.” Karena semua/setiap bendera RI akan selalu ada warna merahnya, maka implikasi di atas bernilai benar
   2. Nilai kebenaran konversnya, dalam bentuk q ⇒ p, yaitu: “Jika suatu bendera ada warna merahnya maka bendera tersebut adalah bendera RI,” yang ekuivalen dengan pernyataan: “Setiap bendera yang ada warna merahnya adalah bendera RI.” Pernyataan terakhir ini bernilai salah karena dapat ditunjukkan beberapa bendera yang ada warna merahnya, yaitu bendera Jepang ataupun Polandia yang memenuhi persyaratan pada antesedennya, dimana bendera tersebut memiliki warna merah namun persyaratan pada konsekuennya tidak dipenuhi, yaitu bendera tersebut bukan bendera RI.
   3. Nilai kebenaran inversnya, dalam bentuk ~p ⇒ ~q, yaitu: “Jika suatu bendera bukan bendera RI maka bendera tersebut tidak ada warna merahnya.” Sekali lagi, pernyataan di atas adalah ekuivalen dengan pernyataan: “Setiap bendera yang bukan bendera RI tidak ada warna merahnya.” Pernyataan ini jelas bernilai salah karena dapat ditunjukkan adanya bendera yang bukan bendera RI namun bendera tersebut ada warna merahnya, yaitu bendera Jepang ataupun Polandia.
   4. Nilai kebenaran kontraposisinya, dalam bentuk ~q ⇒ ~p, yaitu: “Jika suatu bendera tidak ada warna merahnya, maka bendera tersebut bukan bendera RI.” Pernyataan di atas adalah ekuivalen dengan pernyataan: “Setiap bendera yang tidak ada warna merahnya adalah bukan bendera RI.” Pernyataan seperti ini jelas bernilai benar.
2. Dari soal di atas nampaklah bahwa nilai kebenaran dari implikasi serta kontraposisinya adalah sama nilainya, sedangkan nilai  kebenaran konvers adalah sama dengan inversnya.

B.  Ingkaran Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontraposisinya.

Contoh soalnya adalah:

1. Tentukan ingkaran atau negasi dari implikasi: “Jika suatu bendera adalah bendera RI maka bendera tersebut berwarna merah dan putih.”
2. Tentukan juga ingkaran dari konvers, invers, dan kontraposisi implikasi di atas.

Untuk menjawab pertanyaan tadi dan untuk menentukan negasi atau ingkaran konvers, invers, dan kontraposisi maka pengetahuan tentang negasi yang sudah dibahas di bagian depan sangat penting dan menentukan, terutama pengetahuan untuk menentukan negasi atau ingkaran soal nomor 1 s.d. 3 di bawah ini.

1. p ∧ q
2. p ∨ q
3. p ⇒ q
4. q ⇒ p
5. ~p ⇒ ~q
6. ~q ⇒ ~p

Sebagai pengecek, bandingkan hasil yang Anda dapatkan dengan jawaban di

bawah ini.

1. ~p ∨ ~q
2. ~p ∧ ~q
3. p ∧ ~q
4. q ∧ ~p
5. ~p ∧ q
6. ~q ∧ p                                                                                                                                                                                        Dengan demikian, ingkaran atau negasi dari implikasi “Jika suatu bendera adalah bendera RI maka bendera tersebut berwarna merah dan putih.” adalah:

Ada atau terdapat bendera RI namun bendera tersebut tidak berwarna merah dan putih

2. Negasi atau ingkaran dari konvers, invers, dan kontraposisi suatu implikasi tadi berturut-turut adalah:

a. Negasi konvers: Ada bendera berwarna merah dan putih namun bendera tersebut bukan bendera RI.

b. Negasi invers: Ada bendera yang bukan bendera RI namun bendera tersebut

berwarna merah dan putih

c. Negasi kontraposisi: Ada bendera yang tidak berwarna merah dan putih namun bendera tersebut bendera RI

       Ekuivalensi,Tautologi dan Kontradiksi

Tautologi

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar.

contoh pernyataan tautologi adalah:
(p ʌ q) => q
untuk membuktikan pernyataan diatas adalah tautologi, simak tabel kebenaran untuk tautologi
(p ʌ q) => q berikut;

contoh tabel kebenaran tautologi

contoh lain pernyataan tautologi adalah:
a. ((p => q) ʌ (r => q)) => ((p v r) =>q
b. (p ʌ  ~q) => p


 Kontradiksi

Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah.
contoh pernyataan kontradiksi:
 p ʌ (~p ʌ q)
tabel kebenaran pernyataan kontradiksi  p ʌ (~p ʌ q):

Contoh tabel kebenaran kontradiksi

contoh lain pernyataan kontradiksi adalah:
a. (p ʌ ~p)

Ekuivalen

Ekuivalen adalah dua atau lebih pernyataan majemuk  yang memiliki nilai kebenaran yang sama.
Contoh ekuivalen:
~(p v q) ≡ ~p ʌ ~q
tabel kebenaran pernyataan ekuivalen ~(p v q) ≡ ~p ʌ ~q: 

Contoh tabel kebenaran ekuivalen

Hukum-hukum ekuivalen:
a. Hukum Komutatif
    p ʌ q ≡  q ʌ p
    p v q ≡ q v p

b. Hukum Distributif
    p ʌ (q v r) ≡ (p ʌ q) v (p ʌ r)
    p v (q ʌ r) ≡ (p v q) ʌ (p v r)

c. Hukum Asosiatif
    (p ʌ q) ʌ r ≡ p ʌ (q ʌ r)
    (p v q) v r ≡  p v (q v r)

d. Hukum Identitas
    p ʌ T ≡  p
    p v F ≡  p

e. Hukum Dominasi / Ikatan

    p v T ≡ T

    p v F ≡ F 

f.  Hukum Negasi
    p v ~p ≡  T 
    p ʌ ~p ≡ F

g. Hukum Involusi / Negasi Ganda
    ~(~p) ≡  p

h. Hukum Idempoten
    p ʌ p ≡ p
    p v p ≡ p

i.  Hukum De Morgan
    ~( p ʌ q ) ≡  ~p v ~q
    ~( p v q ) ≡ ~p ʌ ~q

j.  Hukum Absorbsi / Penyerapan
    p v (p ʌ q) ≡  p
    p ʌ (p v q) ≡ p

k. Hukum True dan False
    ~T ≡  F
    ~F ≡ T

l.  Hukum Perubahan Implikasi menjadi Disjungsi atau Konjungsi.
    p => q ≡ ~p v q 

           Satisfiability,Validity Consequent

  Satisfiability

       Dalam Logika Matematika, Satisfability adalah sebuah konsep dasar dari Sistematik, Sebuah rumus adalah satisfiable apakah mungkin untuk menemukan interpretasi ( Model ) yang membuat formula yang benar. Sebuah formula berlaku jika semua interpretasi membuat formula yang benar. Kebalikan dari konsep-konsep ini unsatisfiability dan ketidakabsahan, yaitu, formula adalah unsatisfiable jika tidak ada interpretasi membuat formula yang benar, dan tidak sah jika beberapa penafsiran tersebut membuat formula palsu.

Validity

          Validitas sering diartikan dengan kesahihan. Suatu alat ukur disebut memiliki validitas bilamana alat ukur tersebut isinya lanyak mengukur obyek yang seharusnya diukur dan sesuai dengan kriteria tertentu (Thoha, 1990). Artinya ada kesesuaian antara alat ukur dengan fungsi pengukuran dan sasaran pengukuran.

          Menurut Grondlund (Ibrahim & Wahyuni, 2012) validitas mengarah kepada ketepatan interpretasi hasil penggunan suatu prosedur evaluasi sesuai dengan tujuan pengukurannya. Validitas merupakan suatu keadaan apabila suatu instrument evaluasi dapat mengukur apa yang sebenarnya harus diukur secara tepat. Suatu alat ukur hasil belajar matematika dikatakan valid apabila alat ukur tersebut benar-benar mengukur hasil belajar matematika.Validitas alat ukur tidak semata-mata berkaitan dengan kedudukan alat ukur sebagai alat, tetapi terutama pada kesesuaian hasilny, sesuai dengan tujuan penyelanggaraan alat ukur (Surapranata, 2004).

          Validitas tes perlu ditentukan untuk mengetahui kualitas tes dalam kaitannya dengan mengukur hal yang seharusnya diukur. Nunnaly (Surapranata, 2004) menyatakan bahwa pengertian validitas senantiasa dikaitkan dengan penelitian empiris dan pembuktian-pembuktiannya bergantung kepada macam validitas yang digunakannya. Anastasi (Surapranata, 2004) mengemukakan bahwa validitas adalah suatu tingkatan yang menyatakan bahwa suatu alat ukur telah sesuai dengan apa yang diukur. Para pengembang tes memiliki tanggung jawab dalam memuat tes yang benar-benar valid dan reliabel. Oleh karena itu validitas dapat digunakan dalam memeriksa secara langsung seberapa jauh suatu alat telah berfungsi.

Jenis-jenis Validitas

1. Validitas Isi (Content Validity)

          Validitas isi (Content Validity) adalah ketepatan suatu alat ukur ditinjau dari isi alat ukur tersebut. Suatu alat ukur dikatakan memiliki validitas isi apabila isi atau materi atau bahan alat ukur tersebut betul-betul merupakan bahan yang representatif  terhadap bahan pembelajaran yang diberikan. Artinya, isi alat ukur diperkirakan sesuai dengan apa yang telah diajarkan berdasarkan kurikulum.

          Cara menyelidiki validitas isi alat ukur Matematika dapat dilakukan dengan menggunakan pendapat suatu ‘panel’ yang terdiri dari ahli-ahli dalam bidang matematika dan ahli-ahli dalam pengukuran. Bila cara tersebut sulit untuk dilakukan, maka dapat dikerjakan dengan cara membandingkan materi alat ukur tersebut dengan bahan-bahan dalam penyusunan alat ukur, dengan analisis rasional. Apabila materi alat ukur cocok dengan materi penyusunan alat ukur, berarti alat ukur tersebut memiliki validitas isi.

2. Validitas Konstruk (construct Validity)

          Validitas konstruk (Construct Validity) berkaitang dengan konstruksi atau konsep bidang ilmu yang akan diuji validitas alat ukurnya. Validitas konstruk merujuk pada kesesuaian antara hasil alat ukur dengan kemampuan yang ingin diukur. Pembuktian adanya validitas konstruk alat ukur matematika pada dasarnya merupakan usaha untuk menunjukan bahwa skor yang dihasilkan suatu alat ukur matematika benar-benar mencerminkan konstruk yang sama dengan kemampuan yang dijadikan sasaran pengukurannya.

          Suatu alat ukur matematika dikatakan memiliki validitas konstruk yang tinggi apabila hasil alat ukur sesuai dengan ciri-ciri tingkah laku yang diukur. Dengan kata lain, apabila diuraikan akan tampak keselarasan rincian kemampuan dalam butir alat ukur dengan rincian kemampuan yang akan diukur.

          Validitas kontruk dapat dilakukan dengan mengidentifikasi dan memasangkan butir-butir soal dengan tujuan-tujuan tertentu yang dimaksudkan untuk mengungkap tingkatan aspek kognitif tertentu pula. Seperti halnya dalam validitas isi, untuk menentukan tingkatan validitas konstruk, penyusunan butir soal dapat dilakukan dengan mendasarkan diri pada kisi-kisi alat ukur.

3. Validitas Ukuran

          Validitas ukuran/norma/standar alat ukur matematika menunjuk pada pengertian seberpa jauh siswa yang sudah diajarkan dalam bidang matematika menunjukan kemampuan yang lebih tinggi dari dapa yang belum diajarkan. Sebagai contoh, siswa yang telah diajarkan tentang materi aljabar akan mempunyai kemampuan penguasaan terhadap materi aljabar yang lebih dari siswa yang belum diajarkan.

          Validitas ukuran dapat diuji dengan cara dua kelompok siswa diuji dengan alat ukur yang sama. Kelompok pertama telah diajarkan materi yang dialat ukurkan, sedangkan kelonpok kedua belum diajarkan materi itu. Perbedaan nilai rata-rata kedua kelompok itu diuji dengan teknik T-tes untuk mengetahui signifikansi perbedaan nilai rata-rata tersebut.

4. Validitas Sejalan (Concurrent Validity)

          Validitas sejalan atau validitas sama saat menunjuk pada pengertian apakah tingkat kemampuan seorang pada suatu bidang yang diteskan mencerminkan atau sesaui dengan skor bidang yang lain yang mempunyai persamaan karakteristik.

          Validitas sejalan diuji dengan mengorelasikan antara hasil tes yang diuji dengan hasil tes bidang lain yang sekarakteristik. Sebagai contoh, akan diuji validitas sejalan tes penguasaan kosakata secara aktif reseptif. Penguasaan kosakata secara aktif reseptif mempunyai persamaan dengan kemampuan menulis karena sama-sama bersifat aktif reseptif. Hasil tes penguasaan kosakata terse but kemudian dikorelasikan dengan nilai tes menulis yang telah diperoleh sebelumnya. Tinggi rendah koefisien korelasi yang diperoleh dari perhitungan tersebut akan menentukan tinggi randahnya tingkat validitas sejalan tes penguasaan kosakata yang diuji.

Consequent

           Konsekuensi, sering dianggap suatu konsep paling dasar dalam logika, adalah hubungan antara suatu kalimat (atau proposisi) dan kalimat lain (proposisi) sewaktu kalimat yang terakhir “mengikuti” kalimat sebelumnya.

Sebagai contoh, “iguana Berganti kulit” adalah konsekuensi logis dari “Semua Reptil berganti kulit” dan “iguana adalah termasuk golongan Reptil”.